Парадокс трёх близнецов
(об одном из аспектов теории относительности)

А. М. Крайнев
(Будучи инженером-физиком, но не теоретиком,
автор будет признателен физикам-теоретикам за обоснованную критику
и за указание на ошибки или неточности)

Введение ↑

Песня, куплет из которой приведён в эпиграфе, – шутка известного барда. Тем не менее, отметим, что автор был плохо знаком со школьной астрономией. Созвездия не бывают близкими или далёкими. Близкой или далёкой может быть звезда, входящая в созвездие. Созвездие – это всего лишь область на поверхности воображаемой небесной сферы, ограниченная условным контуром. Звёзды и другие объекты, изображения которых проецируются внутрь этой области, считаются входящими в это созвездие. Они обозначаются буквами греческого алфавита и сокращённым названием созвездия. Когда греческий алфавит заканчивается – нумеруются, обозначаются латинскими буквами или их сочетаниями, или – каким-либо другим образом. Не существует созвездия «Тау Кита». Есть созвездие «Кит» («Cet»), а тау Кита (τ Cet) – одна из звёзд, входящих в это созвездие.

Высоцкий в ироничной форме упомянул так называемый «парадокс близнецов», суть которого состоит в том, что часы, которые перемещались и возвратились в точку отправления, отсчитают меньший промежуток времени, чем часы, остававшиеся в точке отправления. Разница в показаниях будет тем бо́льшая, чем выше и чем ближе к скорости света была скорость перемещавшихся часов. И если представить двоих близнецов, один из которых совершил космическое путешествие со скоростью соизмеримой со скоростью света, а другой оставался на Земле, то путешественник, вернувшись на Землю, окажется моложе своего брата. Высоцкий ошибся лишь в том, что невозможна ситуация, чтобы за период путешествия до τ Cet и обратно «Земля… ушла лет на триста вперёд». Разница в длительности путешествия по часам земного наблюдателя и путешественника не может превысить время, необходимое свету для преодоления расстояния от точки отправления до цели путешествия и обратно, которое в данном случае составит чуть менее 24 лет. Конечно, подобную тонкость поэт мог не знать.

Факт замедления скорости течения времени движущегося объекта по сравнению со скоростью течения времени объекта покоящегося, следующий из созданной Эйнштейном более века назад специальной теории относительности (СТО), доказан многочисленными наблюдениями. Но и сегодня находятся «ниспровергатели», которые, спекулируя на слове «парадокс», пытаются этот факт оспаривать. На самом деле, парадокс измышляют они сами, а затем «успешно его решают», объявляя СТО несостоятельной.

Опишем рассуждения «ниспровергателей» словами американского физика-теоретика Ричарда Фейнмана:

…рассмотрим известный «парадокс» – парадокс близнецов, скажем, Петера и Пауля. Пауль улетает на космическом корабле с очень высокой скоростью. Петер остаётся на Земле. Он видит, что Пауль уносится с огромной скоростью, и ему кажется, что часы Пауля замедляют свой ход, сердце Пауля бьется реже, мысли текут ленивее. С точки зрения Петера, всё замирает. Сам же Пауль, конечно, ничего этого не замечает. Но когда после долгих странствий он возвратится на Землю, он окажется моложе Петера! Верно ли это? Да, это одно из тех следствий теории относительности, которые легко продемонстрировать. Мю‑мезоны живут дольше, если они движутся; так и Пауль проживёт дольше, если будет двигаться. «Парадоксом» это явление называют лишь те, кто считает, что принцип относительности утверждает относительность всякого движения. Они восклицают: «Хе-хе-хе! А не можем ли мы сказать, что с точки зрения Пауля двигался Петер и что именно Петер должен был медленнее стареть? Из симметрии тогда следует единственный возможный вывод: при встрече возраст обоих братьев должен оказаться одинаковым», [1].

Последние фразы из этой выдержки о симметрии, взятые в кавычки, отражают рассуждения дилетантов. На самом деле симметрии здесь нет. Петер, ожидая Пауля на Земле, весь период его путешествия находится в одной и той же инерциальной системе отсчёта, а Пауль движется от Земли в одной инерциальной системе отсчёта, а возвращается на Землю, перейдя в другую инерциальную систему отсчёта, что и нарушает симметрию между близнецами и их часами. Но это – слова. «Ниспровергатели» на этом не успокаиваются и, прибегая уже к явному измышлению, приписывают теории относительности «аргумент», которого она не содержит и в принципе не может содержать. Суть этого псевдоаргумента следующая: поскольку перемещение из одной инерциальной системы отсчёта в другую связано с ускорением, то при смене путешественником инерциальной системы отсчёта для возврата на Землю на него действуют силы инерции, которые подобно гравитационным силам влияют на ход времени. Поэтому для анализа ситуации мы обязаны привлечь общую теорию относительности (ОТО). Далее, различными словесными ухищрениями «ниспровергатели» пытаются опровергнуть этот, ими же вымышленный, псевдоаргумент и опять же объявляют СТО, а вместе с ней и ОТО несостоятельными.

Невежество «ниспровергателей» состоит в незнании того факта, что ОТО – теория гравитации, но не теория ускоренного движения. Поэтому утверждение о необходимости применения ОТО для анализа перемещения путешественника из одной инерциальной системы отсчёта в другую – безграмотность. Основой ОТО является установленный ещё Галилеем принцип эквивалентности, который позволил Эйнштейну, расширив принцип относительности на неинерциальные системы отсчёта, применить построения СТО для описания гравитационных взаимодействий. При этом уравнения, описывающие ускоренное движение при скоростях соизмеримых со скоростью света, остаются следствием только СТО. Для их создания и применения принцип эквивалентности не требуется.

Фейнман не приводит подробностей путешествия Пауля и рассматривает лишь классической вариант «парадокса близнецов», в котором периоды разгонов-торможений считаются пренебрежимо короткими по сравнению с периодами инерционного движения и игнорируются. Привнесём в это описание конкретику и займёмся анализом движения Пауля в рамках СТО, включив в рассмотрение и периоды разгонов-торможений. Совместив сюжеты Фейнмана и Высоцкого, выберем целью путешествия Пауля планету в системе звезды τ Cet. Введём в сюжет третьего близнеца, Генри, который будучи огорчён наличием «ниспровергателей», решил пожертвовать собой и улететь в бесконечность для того, чтобы как бы «понаблюдать» эффект замедления времени со стороны. План путешествия, которым будет руководствоваться Пауль, участники разработали совместно ещё до старта. В соответствии с этим планом, используя формулы СТО, Петер и Генри расчётным путём будут поэтапно фиксировать параметры движения Пауля так, как они должны отображаться в их системах отсчёта. Предварительно введём определения и обозначения, которые будут применяться в тексте, и определим основные единицы измерения, которые будут использоваться в расчётах.

1. Определения, обозначения, единицы измерения ↑

Система отсчёта – бесконечная ось x, имеющая выделенное положительное направление, в точке x = 0 которой установлены часы, отсчитывающие собственное время этой системы отсчёта. Значения скоростей, ускорений, смещений считаем положительными, если они направлены в сторону положительного направления оси x, и отрицательными – если против этого направления. Все используемые в статье системы отсчёта пространственно одномерны: значения координат любых событий, скоростей, ускорений по осям y и z всегда равны нулю.

Сопутствующая система отсчёта (ССО) – система отсчёта, связанная с объектом вне зависимости от ускоренного или неускоренного характера его движения или состояния покоя, к местоположению которого всегда привязана точка x = 0 этой системы отсчёта. Поскольку реальные объекты, к которым могут быть привязаны ССО, всегда имеют не нулевую массу, то относительные скорости V всех ССО всегда строго меньше скорости света V < c.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) – система отсчёта, связанная с объектом, который не испытывает ускорений. В рамках данной статьи во всех используемых ИСО к местоположению объекта – участника путешествия (наблюдателя) – всегда будет привязана точка x = 0 этой ИСО. В этом смысле любая ИСО, упоминаемая в статье, для кого‑то из участников обязательно является и ССО.

Принцип относительности. Любой наблюдатель, не испытывающий ускорений, вправе считать себя и связанную с ним ИСО условно покоящимися, а других наблюдателей и связанные с ними ССО условно движущимися. Описание любого закона природы, выраженного через параметры отображаемые в ИСО, принятой за условно покоящуюся, всегда идентично описанию того же закона, выраженного через параметры отображаемые в любой другой ИСО, если эта (другая) ИСО принимается за условно покоящуюся. В частности, это значит, что структура уравнений, описывающих законы движения через координаты и время, отображаемые в ИСО, принятой за условно покоящуюся, полностью идентична структуре уравнений, описывающих те же законы движения через координаты и время, отображаемые в любой другой ИСО, если эта (другая) ИСО принимается за условно покоящуюся.

Основная единица измерения времени – юлианский год, длительность которого Международным астрономическим союзом (МАС) принята равной 365,25 суток. В свою очередь, длительность суток принята равной 86 400 секундам. Длительность юлианского года, выраженная в секундах, составляет 31 557 600 сек. Отличие этого значения от длительности тропического (реального) года около 0,002 %, что для нашего анализа несущественно. Поэтому прилагательное «юлианский» в дальнейшем опускаем. Сокращённое обозначение – «г». При обозначении периодов времени, измеренных в годах, во множественном числе будем использовать слово «годов», исключив из употребления обиходное «лет».

Основная единица измерения расстояний – световой год, который МАС определяет как расстояние, проходимое светом за время равное одному году (юлианскому). Сокращённо – «св.г». Так же, как и при указании периодов времени, во множественном числе будем писать «световых годов», но не «световых лет». При скорости света c = 299 792,458 км/сек [2, Таблицы 5, 10] расстояние равное одному световому году составляет почти 10 триллионов км:

Основная единица измерения скоростей – световой год в год, сокращённо – «св.г/г». В этих единицах скорость света всегда равна единице c = 1 св.г/г, а значения скоростей любых объектов, выраженные в св.г/г, будут измеряться в долях скорости света и всегда будут меньше единицы.

Основная единица измерения ускорений – световой год в год за год, сокращённо – «св.г/г²». По абсолютной величине значения ускорений сверху не ограничиваются.

Обозначения параметров движения Пауля:
S – расстояние от Земли до цели путешествия.
N – порядковый номер этапа движения Пауля.
W_N – постоянное ускорение Пауля на N‑ом этапе в связанной с ним ССО.
Δt_{N Member} – длительность N‑го этапа движения Пауля по часам участника «Member».
Δx_{N Member} – смещение Пауля на N‑ом этапе относительно ССО участника «Member».
t_{end N Member} – показания часов участника «Member» по завершении N‑го этапа.
x_{end N Member} – координата Пауля в ССО участника «Member» по завершении N‑го этапа.
V_{end N Member} – скорость Пауля относительно ССО участника «Member» по завершении N‑го этапа.

2. План путешествия Пауля ↑

Итак, участники эксперимента Пауль, Петер и Генри решили, что в путешествие отправляются Пауль и Генри. Целью путешествия они выбрали планету в системе звезды τ Cet, расстояние до которой составляет S = 11,91 св.г. При всех расчётах они сочли целесообразным пренебречь орбитальными перемещениями, скоростями и ускорениями Земли и целевой планеты внутри своих звёздных систем, а так же скоростью относительного движения Солнечной системы и системы τ Cet.

Задача Пауля, – поддерживая предусмотренные планом путешествия режимы движения, посетить целевую планету, пообщаться с её аборигенами и, вернувшись на Землю, сверить показания своих часов с часами Петера.

Задача Петера, – оставаясь на Земле в одной и той же ИСО расчётным путём на всех этапах фиксировать параметры движения Пауля, а после его возвращения сверить показания своих и его часов.

Задача Генри, – разогнаться совместно с Паулем и, не меняя ИСО и продолжая инерционное движение, тоже расчётным путём на всех этапах фиксировать параметры движения Пауля и Петера, которых он после перехода в режим инерционного движения с позиции своей ИСО вправе считать условно движущимися, а себя и свою ИСО условно покоящимися.

Участники мысленно проводят ось x, точку x_0 Peter = 0 св.г которой привязывают к остающемуся на Земле Петеру. Положительным направлением оси x – выбирают направление от Земли в сторону звезды τ Cet, снабжают каждого участника часами с однотипными часовыми механизмами, выбирают абсолютное значение ускорения равным W = 1 св.г/г², которое Пауль будет поддерживать постоянным на участках разгонов-торможений. Это значение близко к ускорению свободного падения на поверхности Земли, что создаст комфортные условия путешествия: 1 св.г/г² ≈ 9,5 м/сек².

Далее, они утверждают план движения Пауля, в соответствии с которым путешествие разбивается на семь этапов, на каждом из которых Пауль, включая и выключая двигатели, будет поддерживать утверждённые планом величину и направление ускорения на оговорённые периоды времени по часам своей ССО. Длительности всех периодов разгонов-торможений достаточно произвольно они выбрали одинаковыми и равными 1,5 г. Длительность периода общения Пауля с аборигенами на τ Cet тоже произвольно – равной 1 г. Выбор длительностей периодов инерционого движения ~ 4,323 г на этапах 2 и 6 будет ясен из поэтапного расчёта (раздел 5).

Планом путешествия предусматриваются следующие этапы:

1. Разгон в сторону τ Cet. Пауль и Генри стартуют с Земли в положительном направлении оси x из точки x_0 Peter = 0 св.г с ускорением W₁ = 1 св.г/г² и поддерживают его постоянным в своих (совпадающих) ССО в течение Δt_1 Genry = Δt_1 Paul = 1,5 г по часам своих ССО.

2. Инерционное движение в сторону τ Cet. Пауль и Генри останавливают двигатели, переходят в инерционный режим (W₂ = 0 св.г/г²) и поддерживают этот режим в течение Δt_2 Genry = Δt_2 Paul ≈ 4,323 г по часам своих (совпадающих) ИСО. Перед завершением этапа 2 Генри переходит в автономную капсулу, снабжённую системой жизнеобеспечения, в которой после того, как Пауль начнёт торможение на этапе 3, он будет продолжать инерционное движение в той же ИСО, в которой двигался на этапе 2.

3. Торможение до τ Cet. Пауль включает двигатели на торможение с ускорением W₃ = -1 св.г/г² в отрицательном направлении оси x и поддерживает его постоянным в своей ССО в течение Δt_3 Paul = 1,5 г по часам своей ССО. Генри в автономной капсуле продолжает инерционное движение в той же ИСО, в которой двигался на этапе 2.

4. Общение с аборигенами (инерционное состояние). Пауль останавливает двигатели, переходит в инерционный режим (W₄ = 0 св.г/г²), «припланетивается» к целевой планете в системе τ Cet и, оставаясь в инерционном режиме, общается с аборигенами в течение Δt_4 Paul = 1 г по часам своей (и планеты τ Cet, покоящейся относительно ИСО Петера) ИСО.

5. Разгон в сторону Земли. Пауль стартует из системы τ Cet в отрицательном направлении оси x с ускорением W₅ = -1 св.г/г² и поддерживает его постоянным в своей ССО в течение Δt_5 Paul = 1,5 г по часам своей ССО.

6. Инерционное движение в сторону Земли. Пауль останавливает двигатели и движется по инерции (W₆ = 0 св.г/г²) в отрицательном направлении оси x относительно ИСО системы τ Cet (покоящейся относительно ИСО Петера) в течение Δt_6 Paul ≈ 4,323 г по часам своей ИСО.

7. Торможение до Земли. Пауль включает двигатели на торможение с ускорением W₇ = 1 св.г/г² в положительном направлении оси x и поддерживает его постоянным в своей ССО в течение Δt_7 Paul = 1,5 г по часам своей ССО.

Полная длительность путешествия по часам Пауля определится показаниями его часов t_{end 7 Paul} по завершении этапа 7 и будет равна сумме длительностей всех этапов по его часам. Длительности этапов по часам Пауля зависят только от выполнения Паулем предписаний плана путешествия и не зависят от характера движения или покоя как самого Пауля, так и других участников:

Полные длительности путешествия Пауля по часам Петера и Генри тоже определятся показаниями их часов t_{end 7 Peter} и t_{end 7 Genry} по завершении этапа 7 и тоже будут представлять собой суммы длительностей всех этапов по часам каждого из них. Но длительности этапов по часам Петера и Генри могут быть определены только расчётным путём и будут зависеть и от заданных планом путешествия длительностей этих же этапов по часам Пауля, и от параметров движения (покоя) как участника, по часам которого они определяются, так и от параметров движения (покоя) Пауля. Поскольку мы лишены возможности наблюдать перемещения Пауля в реальности, для нахождения параметров его движения с позиций ССО других участников остаётся положиться на соотношения СТО. По этим соотношениям будем вычислять параметры движения Пауля на каждом этапе по часам Петера и Генри и, последовательно суммируя длительности всех этапов по часам каждого участника, получим значения полной длительности путешествия Пауля по их часам. Одновременно будем вычислять смещения Пауля на каждом этапе относительно ССО каждого участника и тоже последовательно суммировать их с учётом знаков. По завершении путешествия (по завершении этапа 7) координата Пауля относительно ИСО Петера равная сумме всех смещений Пауля относительно ИСО Петера должна обратиться в ноль – Пауль должен вернуться в точку старта x_{end 7 Peter} = 0 св.г.

Параметры движения участников в одних ИСО через параметры их движения в других ИСО будем вычислять используя преобразования Лоренца и релятивистский закон сложения скоростей. Параметры движения участников на участках ускорений-тороможений по отношению к стартовой ИСО – по формулам ускоренного движения СТО. Предварительно опишем все соотношения, которые будем использовать в этих вычислениях.

3. Преобразования Лоренца
и релятивистский закон сложения скоростей ↑

Преобразования Лоренца (прямые) позволяют вычислить момент времени t и координату x произвольного события в условно покоящейся ИСО «K» через момент времени t' и координату x' того же события в ИСО «K'», условно движущейся с постоянной скоростью V относительно ИСО «K» вдоль её оси x:

Преобразования Лоренца (обратные) позволяют вычислить момент времени t' и координату x' произвольного события в условно движущейся ИСО «K'» через момент времени t и координату x того же события в условно покоящейся ИСО «K», относительно которой вдоль её оси x с постоянной скоростью V движется ИСО «K'»:

В приведённом виде преобразования Лоренца корректны при условии, что оси x и x' обеих ИСО лежат на одной прямой и направлены в одну сторону, которая считается положительной, а часы обеих ИСО синхронизованы на нулевых отметках времени t = 0 и t' = 0 в момент, когда начала координат x = 0 и x' = 0 обеих ИСО совмещены между собой. Значение скорости V считаем положительным, если её направление совпадает с направлением осей x и x', и отрицательным – если противоположно.

Это – классические преобразования Лоренца. Обратные преобразования отличаются от прямых знаками перед вторыми членами числителей: плюсы меняются на минусы. При этом характер движения/покоя обеих ИСО остаётся прежним: ИСО «K» – условно покоящаяся, ИСО «K'» – условно движущаяся в том же направлении и с той же скоростью V (без изменения знака) как и при применении прямых преобразований. Которые преобразования Лоренца называть прямыми, а которые обратными – дело вкуса. Важно, чтобы для вычисления значений координаты и времени в условно покоящейся ИСО по значениям координаты и времени условно движущейся ИСО применялись соотношения, в которых перед вторыми членами числителей стоят плюсы, а для вычисления значений координаты и времени в условно движущейся ИСО, по значениям координаты и времени условно покоящейся ИСО – минусы.

Применение прямых преобразований Лоренца к двум разным событиям позволяет составить соотношения для вычисления промежутков времени Δt и расстояний Δx между этими событиями в условно покоящейся ИСО «K» через промежутки времени Δt' и расстояния Δx' между этими же событиями в ИСО «K'», условно движущейся с постоянной скоростью V относительно ИСО «K» вдоль её оси x:

Аналогично, применение обратных преобразований Лоренца к двум разным событиям позволяет составить соотношения для вычисления промежутков времени Δt' и расстояний Δx' между этими событиями в условно движущейся ИСО «K'» через промежутки времени Δt и расстояния Δx между этими же событиями в условно покоящейся ИСО «K», относительно которой вдоль её оси x с постоянной скоростью V движется ИСО «K'»:

Промежутки времени Δt', Δt и расстояния Δx', Δx представляют собой разности моментов времени и координат между этими событиями в каждой ИСО:

Соотношения (3.1), (3.2) не требуют синхронизации часов между ИСО «K'» и ИСО «K», поскольку промежутки времени и расстояния между событиями не зависят от привязок шкал времени или координатных осей друг к другу. В расчётах будем использовать соотношения именно для промежутков времени и расстояний, а классические преобразования Лоренца будем рассматривать лишь как их теоретическую основу.

Промежутки времени и расстояния между событиями могут быть как положительными, так и отрицательными. Но в нашем случае все промежутки времени Δt' и Δt будут только положительными, поскольку каждый из них будет определяться двумя событиями, связанными с началом и завершением конкретного этапа инерционного движения одного и того же участника: событием 1 всегда будем считать начало этапа его движения, а событием 2 – более позднее завершение этого этапа. Расстояния Δx будут принимать и положительные, и отрицательные значения, поскольку они будут представлять собой пространственные смещения участников, которые на разных этапах будут двигаться как в положительных, так и в отрицательных направлениях осей x и x' относительно ИСО других участников. При этом расстояния Δx' всегда будут нулевыми, поскольку для условно движущегося участника будем применять только такие ИСО, в которых этот участник, всегда будет покоиться в точке x' = 0 этой ИСО, которая для него одновременно будет являться и ССО.

Если в условно движущейся ИСО «K'» оба события имеют одинаковые координаты на оси x', т. е. происходят в одной и той же точке x'₂ = x'₁, то для этого частного случая, преобразовав правое соотношение из (3.1), найдём простое соотношение для вычисления скорости V условно движущейся ИСО «K'» относительно условно покоящейся ИСО «K». Положив в правой части (3.1) Δx' = 0 и выразив скорость V через остальные параметры, получим:

Знак перед корнем в знаменателе (3.3) должен соответствовать знаку разности координат Δx = x₂ – x₁, где x₂ – координата события 2, которое в условно покоящейся ИСО «K» произошло в момент t₂ более поздний, чем момент t₁, в который произошло событие 1, имеющее координату x₁. Это соотношение будет применено в программном расчёте классического варианта «парадокса близнецов» в разделе 7.

Опираясь на принцип относительности, условно покоящейся можно считать ИСО «K'», а условно движущейся – ИСО «K». При этом все уравнения движения, в т. ч. и преобразования Лоренца, должны иметь тот же вид, что и в предшествующем случае. Для такого представления преобразования Лоренца следует переписать, поменяв в них местами штрихованные значения времени и координат на нештрихованные и наоборот, а при подстановке в соотношения численного значения скорости V её знак следует изменить на противоположный, поскольку в этом представлении ИСО «K» будет условно двигаться относительно ИСО «K'» в противоположном направлении.

Релятивистский закон сложения скоростей позволяет найти постоянную скорость U объекта относительно условно покоящейся ИСО «K», если этот объект движется с постоянной скоростью U' вдоль оси x' ИСО «K'», которая в свою очередь условно движется с постоянной скоростью V вдоль оси x ИСО «K»:

Если в качестве движущегося объекта рассматривать фотон, движущийся со скорость света U' = c относительно условно движущейся ИСО «K'», то относительно условно покоящейся ИСО «K» он будет двигаться тоже со скоростью света U = c вне зависимости от скорости V движения ИСО «K'» относительно ИСО «K».

Решив (3.4) относительно скорости U', получим соотношение, которое позволит найти постоянную скорость U' объекта относительно ИСО «K'», если этот объект движется с постоянной скоростью U относительно ИСО «K» вдоль её оси x, относительно которой в свою очередь со скоростью V вдоль её оси x условно движется ИСО «K'»:

При желании (3.5) можно назвать релятивистским законом вычитания скоростей, поскольку скорость U' можно рассматривать как разность между скоростью U движения объекта и скоростью V движения ИСО «K'» относительно ИСО «K». Если аналогично (3.4) в качестве движущегося объекта рассматривать фотон, движущийся со скорость света U = c относительно условно покоящейся ИСО «K», то относительно условно движущейся ИСО «K'» он будет двигаться тоже со скоростью света U' = c вне зависимости от скорости V движения ИСО «K'» относительно ИСО «K».

Из (3.4) (или из (3.5)) легко получить соотношение для нахождения скорости V движения ИСО «K'» относительно ИСО «K» по известным значениям скоростей U' и U движения объекта относительно обеих ИСО:

Скорость V, как результат применения соотношения (3.6), определена при обязательном соблюдении двух условий: обе скорости объекта относительно обеих ИСО должны быть строго меньше скорости света U' < c и U < c. Если в качестве движущегося объекта рссматривать фотон, который относительно обеих ИСО имеет скорости равные скорости света, то (3.6) приводит к неопределённости вида 0/0, что вполне естественно, поскольку скорость фотона относительно любой ИСО всегда равна скорости света вне зависимости от скорости движения этой ИСО относительно любой другой ИСО.

Скорости, входящие в (3.4), (3.5), (3.6), могут быть как положительными, так и отрицательными. В приведённой форме эти соотношения применимы только для случая, когда скорости направлены вдоль осей x и x', которые лежат на одной прямой.

4. Соотношения ускоренного движения ↑

Соотношения ускоренного движения СТО (см. [3]) позволяют вычислить скорость V и координату x ускоряющегося объекта относительно условно покоящейся ИСО «K» на момент времени t по часам ИСО «K», если этот объект стартовал в момент времени t = 0 по часам ИСО «K» из точки x = 0 этой ИСО вдоль её оси x с ускорением W, которое поддерживается постоянным на протяжении всего периода движения в связанной с этим объектом неинерциальной ускоряющейся ССО «K'».

Скорость V, набранная ускоряющимся объектом на момент времени t, относительно стартовой ИСО «K»:

Координата x ускоряющегося объекта на момент времени t в стартовой ИСО «K»:

Если в момент старта начало отсчёта собственного времени t' = 0 по часам ускоряющейся ССО «K'» было синхронизовано с началом отсчёта времени t = 0 по часам стартовой ИСО «K», то текущее время t' по часам ССО «K'» может быть пересчитано из текущего времени t по часам ИСО «K» следующим образом:

Ускорение может быть как положительным (направлено в положительную сторону оси x), так и отрицательным (направлено в отрицательную сторону оси x). Но нулевое значение ускорения во втором и третьем соотношениях приводит к неопределённостям вида 0/0. Поэтому наложим на ускорение ограничение W ≠ 0 тем более, что нулевое его значение не интересно в силу тривиальности: объект никуда не смещается из точки x = 0.

Эти соотношения, взятые из [3], где проведён их доказательный вывод, будем считать классическими формулами ускоренного движения СТО. Заменим их аналогами, в которых вместо текущего времени t' и t и координаты x будем использовать длительности промежутков времени Δt' и Δt между моментами и расстояния Δx между точками начала и завершения этапов ускорения, аналогично тому, как это было сделано в отношении классических преобразований Лоренца:

Событие 1 – начало этапа ускорения, событие 2 – завершение этапа ускорения. Промежутки времени Δt' и Δt между этими событиями всегда будут положительными, поскольку завершение этапа ускорения – всегда более позднее событие, чем его начало. Смещения Δx и скорости V_end могут быть положительными или отрицательными в зависимости от знака (направления) ускорения W. Но знаки всех этих трёх параметров W, Δx, V_end обязательно должны быть одинаковыми – или плюсами, или минусами. Это требование следует из физических соображений: смещение и скорость физического объекта всегда будут направлены в сторону действия на него ускорения.

После таких преобразований соотношения ускоренного движения будут применимы при старте ускоряющегося объекта из любой точки оси x стартовой ИСО «K» и в любой момент времени t по её часам при условии, что в момент старта скорость объекта относительно ИСО «K» будет равна нулю: V_start = 0. Классические соотношения приобретут следующий вид.

Скорость V_end, набранная ускоряющимся объектом относительно стартовой ИСО «K» к моменту завершения промежутка времени Δt:

Смещение Δx ускоряющегося объекта вдоль оси x относительно стартовой ИСО «K» за промежуток времени Δt:

Промежуток времени  Δt' по часам связанной с ускоряющимся объектом ССО «K'», пересчитанный из промежутка времени Δt по часам условно покоящейся стартовой ИСО «K»:

Комбинируя эти соотношения между собой и исключая лишние параметры, получим рабочие соотношения, которые позволят вычислять любой параметр движения ускоряющегося объекта через другие параметры его движения в обеих координатных системах – в связанной с ускоряющимся объектом ССО «K'» и в условно покоящейся стартовой ИСО «K».

Для нахождения ускорения W получим соотношения (4.1) – (4.6):

Соотношения (4.1) и (4.2) трансцендентны относительно W. Поэтому по известным значениям пар параметров Δt', Δt или Δt', Δx ускорение W может быть найдено только численным методом. Это не вызывает сложностей, поскольку все вычисления предполагается производить программно, а численные методы органично вписываются в программные вычисления.

Для нахождения длительности периода ускорения Δt' по часам ССО «K'», связанной с ускоряющимся объектом, – соотношения (4.7) – (4.12):

Для нахождения длительности периода ускорения Δt по часам условно покоящейся стартовой ИСО «K» – соотношения (4.13) – (4.17):

Непосредственно вычислить длительность Δt по известным значениям пары параметров Δt', Δx невозможно, поскольку соотношение (4.10), связывающие Δt с этой парой, трансцендентно относительно Δt. Поэтому по известной паре этих значений длительность Δt будем вычислять по (4.13) или (4.14), предварительно вычислив значение ускорения W по (4.2).

Для нахождения смещения Δx ускоряющегося объекта относительно условно покоящейся стартовой ИСО «K» за период ускорения – соотношения (4.18) – (4.22):

Непосредственно вычислить смещение Δx по известным значениям пары параметров Δt' и Δt невозможно, поскольку соотношение (4.10), связывающие Δx с этой парой, трансцендентно относительно Δx. Поэтому по известной паре этих значений смещение Δx будем вычислять по (4.18) или (4.19), предварительно вычислив значение ускорения W по (4.1).

Для нахождения скорости V_end, набранной ускоряющимся объектом относительно стартовой ИСО «K» по завершении периода ускорения, – соотношения (4.23) – (4.26):

Непосредственно вычислить скорость V_end по известным значениям пар параметров Δt', Δt или Δt', Δx невозможно, поскольку соотношения (4.11), (4.12), (4.16), (4.21), связывающие скорость V_end с этими парами, трансцендентны относительно V_end. Поэтому по известным парам этих значений скорость V_end будем вычислять по какому‑либо из соотношений (4.23) – (4.25), предварительно вычислив значение ускорения W по (4.1) или (4.2).

Все соотношения (4.1) – (4.26) применимы к объектам, которые ускоренно движутся как в положительном, так и в отрицательном направлениях оси x. Поэтому параметры W, Δx, V_end могут иметь и положительные, и отрицательные значения, но, как было отмечено в начале раздела, знаки этих параметров обязательно должны быть одинаковыми – или плюсами, или минусами. Особенно чувствительны к неисполнению этого условия соотношения (4.8), (4.14), (4.25), в которых последние члены всех подкоренных сумм должны быть положительными. Но при подстановке в эти соотношения ускорения W и смещения Δx, имеющих разные знаки, эти члены будут отрицательными, что неизбежно приведёт к ошибочному результату, причём не столько в знаке, но и по абсолютной величине.

Таким образом, зная любые два из пяти параметров W, Δt', Δt, Δx, V_end ускоренного движения объекта и используя соотношения (4.1) – (4.26), можно найти остальные параметры его движения в обеих системах отсчёта – в связанной с ускоряющимся объектом ССО «K'» и в условно покоящейся стартовой ИСО «K».

5. Поэтапный расчёт параметров движения Пауля ↑

Предварительные замечания

Поскольку Пауль всегда находится в начале координат своей ССО, его смещение, координата и скорость относительно этой ССО всегда остаются нулевыми. Эти параметры априори будем фиксировать нулевыми на всех этапах без расчётов:

Расчёты проводились программой, обеспечивавшей точность до 15‑ти значащих цифр. Но, чтобы не загромождать текст нечитабельными числами, в тексте и в таблицах все исходные и все результирующие значения параметров округлены до третьего знака после запятой. В связи с этим следует иметь в виду, что при использовании этих округлённых значений для повтора или для проверки вычислений результаты в последних знаках не обязательно совпадут с результатами в таблицах, поскольку результаты в таблицах были получены при использовании более точных исходных параметров.

Этап 1. Разгон в сторону τ Cet

Пауль и Генри стартуют с Земли в положительном направлении оси x из точки x_0 Peter = 0 св.г с ускорением W₁ = 1 св.г/г² и поддерживают его постоянным в своих (совпадающих) ССО в течение Δt_1 Genry = Δt_1 Paul = 1,5 г по часам своих ССО.

В момент старта все участники устанавливают показания своих часов на нулевые отметки времени:

Построим таблицу параметров движения Пауля на этапе 1 и занесём в неё исходные параметры, предусмотренные планом путешествия:

Условно покоящейся считаем ИСО Петера. Пауль и Генри ускоренно движутся относительно ИСО Петера. Используя соотношения ускоренного движения (4.13), (4.18), (4.23), находим длительность Δt_1 Peter этапа 1 по часам Петера, смещение Δx_1 Peter Пауля за этап 1 и скорость V_{end 1 Peter} Пауля относительно ИСО Петера по завершении этапа 1:

Прибавив длительности этапа 1 по часам Пауля и Петера и смещение Пауля за этап 1 относительно ИСО Петера к однотипным параметрам движения Пауля на начало этапа 1 (они нулевые), получим параметры движения Пауля по завершении этапа 1:

Все полученные значения занесём в таблицу параметров движения Пауля на этапе 1.

Поскольку на протяжении всего этапа 1 ССО Генри совпадала с ССО Пауля, параметры движения Пауля относительно ССО Генри идентичны параметрам движения Пауля относительно его собственной ССО и могут быть переписаны из строки Пауля в строку Генри.

Этап 2. Инерционное движение в сторону τ Cet

Пауль и Генри останавливают двигатели, переходят в инерционный режим (W₂ = 0 св.г/г² ) и поддерживают этот режим в течение Δt_2 Genry = Δt_2 Paul ≈ 4,323 г по часам своих (совпадающих) ИСО.

Перед завершением этапа 2 Генри переходит в автономную капсулу, снабжённую системой жизнеобеспечения, в которой после того, как Пауль начнёт торможение на этапе 3, он будет продолжать инерционное движение в той же ИСО, в которой двигался на этапе 2.

Построим таблицу параметров движения Пауля на этапе 2 и занесём в неё исходные параметры, предусмотренные планом путешествия:

Значение длительности Δt_2 Paul = 4,323 г этапа 2 по часам Пауля получено расчётным путём во время разработки плана путешествия следующим образом. Условно покоящейся считаем ИСО Петера (вместе с ИСО целевой планеты в системе τ Cet). Пауль равномерно движется относительно ИСО Петера в положительном направлении оси x. Для того, чтобы остановиться в местонахождении целевой планеты τ Cet по завершении этапа 3, на этапе 2 Паулю необходимо переместиться относительно ИСО Петера в положительном направлении оси x на расстояние Δx_2 Peter равное расстоянию от Земли до целевой планеты S = 11,91 св.г за вычетом смещений Пауля Δx_1 Peter = 1,352 св.г и Δx_3 Peter = 1,352 св.г относительно ИСО Петера на этапах 1 и 3 (см. ниже расчёт этапа 3), которые в данном случае одинаковы:

По часам Петера на преодоление этого расстояния Пауль, двигаясь весь этап 2 относительно ИСО Петера со скоростью V_{end 1 Peter} = 0,905 св.г/г, достигнутой по завершении этапа 1, затратит время Δt_2 Peter равное:

Используя преобразования Лоренца (3.2), находим длительность Δt_2 Paul этапа 2 по часам Пауля, а для дополнительной проверки корректности применяемых методов – и смещение Δx_2 Paul Пауля в его собственной ИСО, которое априори должно быть равно нулю:

На этапе 2 Пауль не испытывал ускорений, поэтому его скорость относительно ИСО Петера по завершении этапа 2 осталась такой же, какой была по завершении этапа 1:

Прибавив длительности этапа 2 по часам Пауля и Петера и смещение Пауля за этап 2 относительно ИСО Петера к однотипным параметрам движения Пауля на момент завершения этапа 1, получим параметры движения Пауля по завершении этапа 2:

Все полученные значения занесём в таблицу параметров движения Пауля на этапе 2.

Поскольку на протяжении всего этапа 2 ИСО Генри совпадала с ИСО Пауля, параметры движения Пауля относительно ИСО Генри идентичны параметрам движения Пауля относительно его собственной ИСО и могут быть переписаны из строки Пауля в строку Генри.

Этап 3. Торможение до τ Cet

Пауль включает двигатели на торможение с ускорением W₃ = -1 св.г/г² в отрицательном направлении оси x и поддерживает его постоянным в своей ССО в течение Δt_3 Paul = 1,5 г по часам своей ССО. Генри в автономной капсуле продолжает инерционное движение в той же ИСО, с которой был связан на этапе 2.

Построим таблицу параметров движения Пауля на этапе 3 и занесём в неё исходные параметры, предусмотренные планом путешествия:

Пауль стартует из ИСО, в которой он находился по завершении этапа 2 и которую обозначим как вспомогательную ИСО «Start».

Условно покоящейся считаем ИСО «Start». Пауль ускоренно движется относительно ИСО «Start». Используя соотношения ускоренного движения (4.13), (4.18), (4.23), найдём длительность Δt_3 Start этапа 3 по часам ИСО «Start», смещение Δx_3 Start Пауля за этап 3 и скорость V_{end 3 Start} Пауля относительно ИСО «Start» по завершении этапа 3:

Далее, условно покоящейся считаем ИСО Петера. Продолжительность Δt_3 Peter этапа 3 по часам ИСО Петера и смещение Пауля Δx_3 Peter относительно ИСО Петера найдём используя преобразования Лоренца (3.1) через параметры движения Пауля в ИСО «Start», которая продолжает равномерно двигаться относительно ИСО Петера со скоростью V_{end 2 Peter} = V_{end 1 Peter} = 0,905 св.г/г, достигнутой Паулем по завершении этапа 1:

Скорость V_{end 3 Peter} Пауля относительно ИСО Петера по завершении этапа 3 найдём используя релятивистский закон сложения скоростей (3.4), подставив в него скорость U' = V_{end 3 Start} = -0,905 св.г/г движения Пауля относительно ИСО «Start» и скорость V = V_{end 2 Peter} = 0,905 св.г/г, с которой ИСО «Start» движется относительно ИСО Петера:

Нулевое значение скорости V_{end 3 Peter} вполне естественно, поскольку Петер находится в ИСО, которая покоится относительно ИСО целевой планеты системы τ Cet, достигнув которой Пауль должен остановиться.

ИСО Генри и вспомогательная ИСО «Start» представляют собой одну и ту же ИСО, поскольку они обе продолжают движение той ИСО, в которой Пауль и Генри двигались на этапе 2. Поэтому все параметры движения Пауля на этапе 3 относительно ИСО Генри полностью идентичны параметрам его движения относительно ИСО «Start»:

Прибавив длительности этапа 3 по часам Пауля, Петера, Генри и смещения Пауля (с учётом знаков) за этап 3 относительно ИСО Петера и ИСО Генри к однотипным параметрам движения Пауля на момент завершения этапа 2, получим параметры движения Пауля по завершении этапа 3:

Все полученные значения занесём в таблицу параметров движения Пауля на этапе 3.

Этап 4. Общение с аборигенами (инерционное состояние)

Пауль останавливает двигатели, переходит в инерционный режим (W₄ = 0 св.г/г²), «припланетивается» к целевой планете в системе τ Cet и, находясь в этом инерционном режиме, общается с аборигенами в течение Δt_4 Paul = 1 г по часам своей ИСО.

Построим таблицу параметров движения Пауля на этапе 4 и занесём в неё исходные параметры, предусмотренные планом путешествия:

Условно покоящейся считаем ИСО Петера. Пауль равномерно движется (покоится) относительно ИСО Петера со скоростью V_{end 3 Peter} = 0 св.г/г, достигнутой Паулем по завершении этапа 3. Используя преобразования Лоренца (3.1), найдём длительность Δt_4 Peter этапа 4 по часам Петера и смещение Δx_4 Peter Пауля за этап 4 относительно ИСО Петера:

Равенство длительностей Δt_4 Peter = 1 г и Δt_4 Paul = 1 г этапа 4 по часам Петера и Пауля и нулевое смещение Δx_4 Peter = 0 св.г Пауля относительно ИСО Петера вполне естественны, поскольку целевая планета, а вместе с ней и Пауль находятся в ИСО, которая покоится относительно ИСО Петера.

Далее, условно покоящейся считаем ИСО Генри. Пауль равномерно движется относительно ИСО Генри со скоростью V_{end 3 Genry} = -0,905 св.г/г, достигнутой Паулем по завершении этапа 3. Используя преобразования Лоренца (3.1), найдём длительность Δt_4 Genry этапа 4 по часам ИСО Генри и смещение Δx_4 Genry Пауля за этап 4 относительно ИСО Генри:

На этапе 4 Пауль не испытывал ускорений, поэтому его скорости относительно ИСО Петера и ИСО Генри по завершении этапа 4 остались такими же, какими были по завершении этапа 3:

Прибавив длительности этапа 4 по часам Пауля, Петера, Генри и смещения Пауля (с учётом знаков) за этап 4 относительно ИСО Петера и ИСО Генри к однотипным параметрам движения Пауля на момент завершения этапа 3, получим параметры движения Пауля по завершении этапа 4:

Все полученные значения занесём в таблицу параметров движения Пауля на этапе 4.

Этап 5. Разгон в сторону Земли

Пауль стартует из системы τ Cet к Земле в отрицательном направлении оси x с ускорением W₅ = -1 св.г/г² и поддерживает его постоянным в своей ССО в течение Δt_5 Paul = 1,5 г по часам своей ССО.

Построим таблицу параметров движения Пауля на этапе 5 и занесём в неё исходные параметры, предусмотренные планом путешествия:

Пауль стартует из ИСО, в которой он находился по завершении этапа 4 и которую обозначим как вспомогательную ИСО «Start».

Условно покоящейся считаем ИСО «Start». Пауль ускоренно движется относительно ИСО «Start». Используя соотношения ускоренного движения (4.13), (4.18), (4.23), найдём длительность Δt_5 Start этапа 5 по часам ИСО «Start», смещение Δx_5 Start Пауля за этап 5 и скорость V_{end 5 Start} Пауля относительно ИСО «Start» по завершении этапа 5:

ИСО Start – это ИСО, которая продолжает движение ИСО Пауля на этапе 4 со скоростями V_{end 4 Peter} = 0 св.г/г и V_{end 4 Genry} = -0,905 св.г/г относительно ИСО Петера и ИСО Генри соответственно. Используя преобразования Лоренца (3.1) и поочерёдно считая условно покоящимися ИСО Петера и ИСО Генри, найдём длительности этапа 5 по часам Петера и Генри и смещения Пауля относительно ИСО Петера и ИСО Генри за этап 5.

Считая условно покоящейся ИСО Петера:

Считая условно покоящейся ИСО Генри:

Равенство параметров движения Пауля относительно ИСО Петера и относительно ИСО «Start» вполне естественно, поскольку ИСО «Start» – это ИСО, с которой Пауль был связан на этапе 4, находясь на целевой планете системы τ Cet, которая, в свою очередь, покоилась относительно ИСО Петера.

Скорости V_{end 5 Peter} и V_{end 5 Genry} Пауля относительно ИСО Петера и ИСО Генри по завершении этапа 5 найдём используя релятивистский закон сложения скоростей (3.4), подставив в него скорость U' = V_{end 5 Start} = -0,905 св.г/г движения Пауля относительно ИСО «Start», которую поочерёдно будем считать движущейся относительно условно покоящихся ИСО Петера и ИСО Генри.

Считая условно покоящейся ИСО Петера и подставив в (3.4) скорость V = V_{end 4 Peter} = 0,000 св.г/г, с которой ИСО «Start» движется (покоится) относительно ИСО Петера, получим значения скорости Пауля относительно ИСО Петера:

Считая условно покоящейся ИСО Генри и подставив в (3.4) скорость V = V_{end 4 Genry} = -0,905 св.г/г, с которой ИСО «Start» движется относительно ИСО Генри, получим значения скорости Пауля относительно ИСО Генри:

Прибавив длительности этапа 5 по часам Пауля, Петера, Генри и смещения Пауля (с учётом знаков) за этап 5 относительно ИСО Петера и ИСО Генри к однотипным параметрам движения Пауля на момент завершения этапа 4, получим параметры движения Пауля по завершении этапа 5:

Все полученные значения занесём в таблицу параметров движения Пауля на этапе 5.

Этап 6. Инерционное движение в сторону Земли

Пауль останавливает двигатели, переходят в инерционный режим (W₆ = 0 св.г/г²) и поддерживает этот режим в течение Δt_6 Paul = 4,323 г по часам своей ИСО.

Построим таблицу параметров движения Пауля на этапе 6 и занесём в неё исходные параметры, предусмотренные планом путешествия:

Значение длительности Δt_6 Paul = 4,323 г этапа 6 по часам Пауля получено расчётным путём во время разработки плана путешествия следующим образом. Условно покоящейся считаем ИСО Петера (вместе с ИСО целевой планеты в системе τ Cet). Пауль равномерно движется относительно ИСО Петера в отрицательном направлении оси x. Для того, чтобы остановиться в местонахождении Земли по завершении этапа 7, на этапе 6 Паулю необходимо переместиться относительно ИСО Петера в отрицательном направлении оси x на расстояние Δx_6 Peter равное полному смещению L Пауля от целевой планеты до Земли за вычетом его смещений Δx_5 Peter = -1,352 св.г и Δx_7 Peter = -1,352 св.г относительно ИСО Петера на этапах 5 и 7 (см. ниже расчёт этапа 7), которые в данном случае одинаковы. Все эти смещения L, Δx_5 Peter, Δx_7 Peter отрицательны, поскольку весь обратный путь на всех этапах Пауль движется в отрицательном направлении оси x. Полное смещение L на обратном пути определяется разностью между координатой x_0 Peter = 0 св.г точки завершения путешествия Пауля на Земле и координатой x_{end 4 Peter} = 11,910 св.г точки начала возвратного движения. По абсолютной величине расстояние L равно расстоянию S, но отрицательно:

Вычитая из расстояния L смещения Пауля относительно ИСО Петера на этапах 5 и 7, найдём смещение Пауля Δx_6 Peter относительно ИСО Петера на этапе 6:

По часам Петера на преодоление этого расстояния Пауль, двигаясь весь этап 6 относительно ИСО Петера со скоростью V_{end 5 Peter} = -0,905 св.г/г, достигнутой по завершении этапа 5, затратит время Δt_6 Peter равное:

Используя преобразования Лоренца (3.2), найдём длительность Δt_6 Paul этапа 6 по часам ИСО Пауля, которая движется относительно условно покоящейся ИСО Петера со скоростью V_{end 5 Peter} = -0,905 св.г/г, достигнутой по завершении этапа 5, а для дополнительной проверки корректности применяемых методов – и смещение Δx_6 Paul Пауля в его собственной ИСО, которое априори должно быть равно нулю:

Далее, условно покоящейся считаем ИСО Генри. Пауль равномерно движется относительно ИСО Генри со скоростью V_{end 5 Genry} = -0,995 св.г/г, достигнутой Паулем по завершении этапа 5. Используя преобразования Лоренца (3.1), найдём длительность Δt_6 Genry этапа 6 по часам ИСО Генри и смещение Δx_6 Genry Пауля за этап 6 относительно ИСО Генри:

На этапе 6 Пауль не испытывал ускорений, поэтому его скорости относительно ИСО Петера и ИСО Генри по завершении этапа 6 осталась такими же, какими были по завершении этапа 5:

Прибавив длительности этапа 6 по часам Пауля, Петера, Генри и смещения Пауля (с учётом знаков) за этап 6 относительно ИСО Петера и ИСО Генри к однотипным параметрам движения Пауля на момент завершения этапа 5, получим параметры движения Пауля по завершении этапа 6:

Все полученные значения занесём в таблицу параметров движения Пауля на этапе 6.

Этап 7. Торможение до Земли

Пауль включает двигатели на торможение с ускорением W₇ = 1 св.г/г² в положительном направлении оси x и поддерживает его постоянным в своей ССО в течение Δt_7 Paul = 1,5 г по часам своей ССО.

Построим таблицу параметров движения Пауля на этапе 7 и занесём в неё исходные параметры, предусмотренные планом путешествия:

Пауль стартует из ИСО, в которой он находился по завершении этапа 6 и которую обозначим как вспомогательную ИСО «Start».

Условно покоящейся считаем ИСО «Start». Пауль ускоренно движется относительно ИСО «Start». Используя соотношения ускоренного движения (4.13), (4.18), (4.23), найдём длительность Δt_7 Start этапа 7 по часам ИСО «Start», смещение Δx_7 Start Пауля за этап 7 и скорость V_{end 7 Start} Пауля относительно ИСО «Start» по завершении этапа 7:

ИСО Start – это ИСО, которая продолжает движение ИСО Пауля на этапе 6 со скоростями V_{end 6 Peter} = -0,905 св.г/г и V_{end 6 Genry} = -0,995 св.г/г относительно ИСО Петера и ИСО Генри соответственно. Используя преобразования Лоренца (3.1) и поочерёдно считая условно покоящимися ИСО Петера и ИСО Генри, найдём длительности этапа 7 по часам Петера и Генри и смещения Пауля относительно ИСО Петера и ИСО Генри за этап 7:

Считая условно покоящейся ИСО Петера:

Считая условно покоящейся ИСО Генри:

Скорости V_{end 7 Peter} и V_{end 7 Genry} Пауля относительно ИСО Петера и ИСО Генри по завершении этапа 7 найдём используя релятивистский закон сложения скоростей (3.4), подставим в него скорость U' = V_{end 7 Start} = 0,905 св.г/г движения Пауля относительно ИСО «Start», которую поочерёдно будем считать движущейся относительно условно покоящихся ИСО Петера и ИСО Генри.

Считая условно покоящейся ИСО Петера и подставив в (3.4) скорость V = V_{end 6 Peter} = -0,905 св.г/г, с которой ИСО «Start» движется относительно ИСО Петера, получим значения скорости Пауля относительно ИСО Петера:

Считая условно покоящейся ИСО Генри и подставив в (3.4) скорость V = V_{end 6 Genry} = -0,995 св.г/г, с которой ИСО «Start» движется относительно ИСО Генри, получим значения скорости Пауля относительно ИСО Генри:

Прибавив длительности этапа 7 по часам Пауля, Петера, Генри и смещения Пауля (с учётом знаков) за этап 7 относительно ИСО Петера и ИСО Генри к однотипным параметрам движения Пауля на момент завершения этапа 6, получим параметры движения Пауля по завершении этапа 7:

Все полученные значения занесём в таблицу параметров движения Пауля на этапе 7.

Завершающие результаты

Итак, по завершении путешествия Пауля полные продолжительности его путешествия по часам ССО всех участников, которые отобразятся показаниями их часов по завершении этапа 7, и значения координат Пауля в ССО Петера и Генри по завершении этапа 7 составляют:

6. Параметры движения Пауля в ИСО Петера
по расчёту Генри ↑

По завершении путешествия Пауль возвращается в точку старта – его координата относительно ИСО Петера обращается в ноль x_{end 7 Peter} = 0 св.г. Это позволяет Петеру и Паулю сверить показания своих часов непосредственно и убедиться в том, что часы Пауля зафиксировали полную длительность путешествия почти вдвое меньшую, чем часы Петера. Но Пауль и Петер не могут сверить показания своих часов с показаниями часов Генри, поскольку Генри находится от них на большом расстоянии.

Со своей стороны, Генри не сомневается в корректности значения полной длительности путешествия, которую фиксируют часы Пауля, поскольку эта длительность представляет собой сумму длительностей всех этапов по часам Пауля, которые были априори заданы при подготовке путешествия. Но значение полной длительности путешествия по часам Петера ему не известно. Да, он мог бы повторить расчёты, которые провёл Петер, опираясь на поэтапный режим движения Пауля. Но показательнее рассчитать длительность путешествия Пауля по часам Петера другим методом – опираясь на расчётные значения полной длительности путешествия Пауля в своей ССО и полное смещение Пауля относительно своей ССО. После завершения этапа первоначального разгона Генри переходит в режим инерционного движения и бо́льшую часть путешествия Пауля находится в ИСО, которую он, применяя принцип относительности, вправе считать условно покоящейся, а ИСО Петера – условно движущейся. Поэтому рассчитать основную часть длительности путешествия Пауля по часам Петера и смещение Пауля относительно и с позиции ИСО Петера Генри может не обращаясь к соотношениям ускоренного движения, а опираясь только на преобразования Лоренца и используя параметры движения Пауля в своей ИСО на момент начала своего инерционного движения и на момент, когда по расчётному времени в его ИСО Пауль возвращается на Землю. По соотношениям ускоренного движения ему придётся провести расчёты аналогичные расчётам Петера лишь для определения длительности этапа 1 первоначального разгона по часам Петера и смещения Пауля за этот этап относительно ИСО Петера, добавив к которым параметры движения Петера относительно своей, условно покоящейся ИСО после завершения этапа 1 первоначального разгона, он получит полную длительность всего путешествия Пауля по часам Петера и полное смещение Пауля относительно ИСО Петера за всё путешествие.

Проведём такой расчёт.

Итак, по завершении первоначального разгона на этапе 1 Генри (совместно с Паулем) набирает скорость V_{end 1 Peter} = 0,905 св.г/г в положительном направлении оси x относительно ИСО Петера (см. таблицу параметров движения Пауля на этапе 1 в разделе 5). Далее, на этапах 2‑7 Генри движется только в инерционном режиме и связанная с ним ССО одновременно является и ИСО. Опираясь на принцип относительности, считаем, что на этапах 2‑7 ИСО Генри условно покоится, а ИСО Петера условно движется в отрицательном направлении оси x со скоростью V_{2‑7 Pet‑Gen} равной:

Зафиксируем два события: первое – начало инерционного движения Генри в момент начала этапа 2, совпадающего с моментом завершения этапа 1. И второе – возвращение Пауля на Землю в исходную точку путешествия по завершении этапа 7. В соответствии с проведёнными поэтапными расчётами эти события по часам Генри происходят в моменты t_{end 1 Genry} = 1,5 г и t_{end 7 Genry} = 69,606 г в точках с координатами в ИСО Генри x_{end 1 Genry} = 0 св.г и x_{end 7 Genry} = -62,221 св.г соответственно (см. таблицы параметров движения Пауля на этапах 1 и 7). Суммарную длительность Δt_{2‑7 Genry} этапов 2‑7 по часам Генри и суммарное смещение Δx_{2‑7 Genry} Пауля относительно ИСО Генри за этапы 2‑7 получим вычитанием текущего времени и координаты первого события из текущего времени и координаты второго события соответственно:

Построим таблицу параметров движения Пауля в ИСО Петера по расчёту Генри, в строку ИСО Генри которой занесём значения из этих соотношений в качестве исходных параметров расчёта (для удобства в виде обратных соотношений).

Опираясь только на эти исходные параметры – на значения суммарной длительности этапов 2‑7 в ИСО Генри и суммарного смещения Пауля за эти этапы относительно ИСО Генри и на факт движения Петера относительно ИСО Генри со скоростью V_{2‑7 Pet‑Gen} = -0,905 св.г/г, игнорируя характер движения Пауля на всех этапах, используя преобразования Лоренца (3.2), найдём суммарную длительность Δt_{2‑7 Peter} этапов 2‑7 по часам Петера и суммарное смещение Δx_{2‑7 Peter} Пауля относительно ИСО Петера за этапы 2‑7:

Прибавив эти, рассчитанные с позиции ИСО Генри, значения длительности этапов 2‑7 по часам Петера и смещения Пауля относительно ИСО Петера за эти этапы к параметрам движения Пауля относительно ИСО Петера по завершении этапа 1, которые Генри рассчитывает аналогично расчёту Петера (см. таблицу параметров движения Пауля на этапе 1 в разделе 5), найдём параметры движения Пауля по завершении всего путешествия (по завершении этапа 7) в ИСО Петера за весь период путешествия Пауля по расчётам из условно почти покоящейся ИСО Генри:

Значения из этих соотношений занесём в строку ИСО Петера таблицы параметров движения Пауля в ИСО Петера по расчёту Генри.

Как видим, при взгляде из ССО стороннего и условно почти покоящегося наблюдателя Генри при опоре на полную расчётную длительность путешествия Пауля по часам своей ССО от момента старта Пауля из точки x_0 Peter = 0 св.г ИСО Петера до момента возврата Пауля в эту же точку x_{end 7 Peter} = 0 св.г той же ИСО Петера полная длительность путешествия Пауля по часам Петера по расчёту Генри совпадает с длительностью путешествия, вычисленной самим условно покоящимся Петером при опоре на поэтапный режим движения Пауля (несовпадение в 13‑15х разрядах, заметное в точных программных расчётах, имеет место из‑за набегающей ошибки в силу ограниченной точности представления чисел в языке программирования; см. раздел 7). Таким образом, по расчёту стороннего наблюдателя (независимого «судьи»), каковым по сути является Генри, часы участника эксперимента, который оставался в одной и той же ИСО, зафиксируют бо́льшую длительность путешествия, чем часы участника, который менял режимы движения для возврата в точку старта стартовой ИСО. Т. е. считать себя покоящимся вправе именно тот участник эксперимента, который не менял ИСО. Более того, любой сторонний наблюдатель, если он весь период проведения эксперимента находился в одной и той же своей ИСО, применив соотношения СТО для вычислении полной длительности путешествия Пауля по часам ИСО Петера, получит тот же результат, который получили Петер и Генри.

Полученный результат говорит о том, что СТО – теория внутренне согласованная и бесперспективно пытаться искать ошибки в её математическом аппарате, чем порой занимаются «ниспровергатели». Применительно к Генри слово «почти» употребляется в том смысле, что ССО Генри превращается в ИСО только на этапах 2‑7, но не на этапе 1. И для того, чтобы избавиться от этого «почти» надо перейти к классическому варианту «парадокса близнецов», приблизив длительность этапа 1 к пренебрежимо малому значению по сравнению с длительностью всего путешествия. Для наглядности в процессе приближения желательно сохранять неизменной скорость V_1 Peter Генри относительно ИСО Петера, которую Генри совместно с Паулем набирает по завершении этапа 1. Поскольку единственным аргументом, от которого зависит эта скорость, является произведение ускорения Петера и Генри на этапе 1 на длительность этого этапа (см. соотношение (4.23)), то для обеспечения неизменности этой скорости ускорение W₁ на этапе 1 следует увеличивать в той же пропорции, в которой будет уменьшаться длительность Δt_1 Paul этапа 1 по часам ССО Пауля. Уменьшая длительность этапа 1, можно сохранять или не сохранять симметрию движения Пауля, аналогично уменьшая длительности других этапов ускорений-торможений и пропорционально увеличивая абсолютные значения ускорений на них. При этом в процессе приближения придётся производить пересчёты всех параметров движения Пауля относительно ССО всех участников на всех этапах его движения. Заниматься такими пересчётами вручную рутинная и трудоёмкая работа. Поэтому в следующем разделе предлагается интерактивная программа, с помощью которой за доли секунды можно рассчитать все параметры движения Пауля относительно ССО всех участников, задавая различные режимы его движения. Собственно говоря, все параметры движения Пауля, приведённые в разделах 5 и 6, получены расчётом именно по этой программе и округлены до трёх знаков для упрощения восприятия в тексте статьи.

7. Описание программы 
«Параметры движения Пауля» ↑

Предлагаемая программа представляет собой инструмент для демонстрационного расчёта эффекта замедления скорости течения времени в ССО условного путешественника Пауля, который отправляется в космическое путешествие и (как правило, но не обязательно) возвращается в ту же точку той же ИСО, из которой стартовал, по сравнению со скоростью течения времени в ИСО двоих участников-наблюдателей, один из которых, Петер, весь период путешествия Пауля остаётся в точке старта стартовой ИСО, а другой, Генри, разогнавшись совместно с Паулем, продолжает движение в ИСО, в которой оказался после разгона. Программа работает на машине пользователя, не используя ресурсы сервера. При нажатии на ссылку с названием программы в заголовке раздела, с сервера производится только её загрузка в оперативную память машины пользователя. При этом открывается окно (или, в зависимости от браузера и его настроек, вкладка) программы, содержащее три таблицы: «Параметры движения Пауля в ССО всех участников», «Параметры движения Пауля в ИСО Петера по расчёту Генри», «Режимы расчёта, единицы измерения, формат отображения числовых значений». Эти таблицы, описания которых приведены ниже, представляют собой всю полноту интерфейса для работы с программой.

Таблица «Параметры движения Пауля в ССО всех участников»

Таблица представляет собой совокупность всех таблиц раздела 5, отображающих параметры движения Пауля на всех этапах его движения, и содержит поля, в которые пользователь может вводить изменённые значения некоторых параметров его движения. В отличие от раздела 5, значения всех параметров отображаются с максимально достижимой точностью, которую пользователь может изменять по своему усмотрению. Все вводимые значения рассматриваются программой в статусе независимых переменных – аргументов. Изменения, вносимые в поля ввода, следует завершать нажатием клавиши «Enter».

Параметры, вычисляемые программой, имеют статус функций этих аргументов. Если введённый параметр находится в допустимых пределах, программа сразу же после его ввода пересчитывает значения всех аргументов в ССО всех участников. Если параметр некорректен или выходит за допустимые пределы, то в большинстве случаев появляется окно предупреждения с описанием причины ошибки и указанием пределов допустимых значений этого параметра. К сожалению, значения указанных границ следует считать лишь ориентировочными. В некоторых случаях отклонения реально необходимых ограничений от рассчитанных значений могут быть достаточно существенными, причём как в сторону ужесточения, так и в сторону ослабления. Это происходит в силу недостаточной точности представления чисел в языке программирования для достижения точной работы алгоритмов расчётов. В то же время, не исключены ситуации, которые не были предусмотрены при создании программы, но которые приведут к её некорректной работе. В этих случаях в каких‑либо ячейках таблицы вместо результирующих значений могут появиться сообщения «NaN», «Infinity», «undefined», которые укажут на то, что расчёт произведён некорректно. Как правило, это будут случаи попыток ввода экзотических исходных данных, которые алгоритмы расчёта не смогут корректно обработать.

Для того, чтобы по возможности снизить вероятность появления промежуточных результатов, которые применённые алгоритмы расчётов не смогут корректно обработать, все вводимые параметры сверху ограничены следующими значениями: ускорения по абсолютной величине значением 10⁺²⁰, расстояние до цели путешествия и длительности любых периодов значением 10⁺¹⁵, скорости по абсолютной величине значением 0,999… (14 девяток). При вводе значений программа не допустит превышения этих пределов. С другой стороны, ввод нулевых или очень близких к нулю абсолютных значений ускорений, скоростей или длительностей в некоторых случаях тоже может привести к некорректной работе алгоритмов. Поэтому, если вводимый параметр по определению не может быть равен нулю или его нулевое значение приведёт к неинформативному результату, вводимое значение этого параметра по абсолютной величине меньшее, чем 10^-20, программа сочтёт нулевым и тоже не позволит ввести. Все указанные ограничения относятся к параметрам при их вводе в основных единицах измерения. При вводе параметра в других единицах, ограничения перед применением пересчитываются в выбранные единицы отображения.

В различных режимах работы программы для ввода могут быть доступны следующие параметры:

- расстояние до цели путешествия. Вводимое расстояние S до цели путешествия может иметь только положительное и не равное нулю значение. Можно вообще отказаться от его фиксации. Для этого ячейку ввода расстояния необходимо полностью очистить, выделив курсором её содержимое и стерев нажатием клавиши «Delete».

- ускорения Пауля на этапах 1, 3, 5, 7. В соответствии с ограничением, наложенным на ускорение в разделе 4, вводимые значения ускорений не могут быть нулевыми. Ускорения на этапах 1 первоначального разгона и 7 завершающего торможения, совпадающие по направлению с направлением оси x, могут быть только положительными. Ускорения на этапах 3 торможения до цели и 5 обратного разгона противоположные направлению оси x – только отрицательными.

- длительности этапов по часам ССО Пауля. Вводимые значения длительностей любых этапов не могут быть отрицательными, а значения длительностей этапов разгонов-торможений (1, 3, 5, 7) не могут быть нулевыми.

- скорости Пауля относительно ИСО Петера. Вводимые скорости на этапах 1 и 5 разгонов не могут быть нулевыми. Скорость в сторону цели по завершении этапа 1, по направлению совпадающая с направлением оси x, может быть только положительной. Скорость в сторону Земли по завершении этапа 5, противоположная направлению оси x, – только отрицательной.

Все указанные ограничения действуют только в отношении вводимых значений, но не действуют в отношении рассчитанных результатов, которые могут выходить за эти пределы. При этом имеется возможность продолжать использовать полученные результаты в последующих расчётах. Однако, надёжность таких расчётов может оказаться под сомнением.

Программа допускает четыре режима работы. В трёх из них соблюдается симметрия движения, при которой абсолютные значения ускорений на этапах разгонов-торможений и скоростей после разгонов равны между собой. Равны между собой и длительности как всех этапов разгонов-тороможений, так и этапов инерционных движений. Четвёртый режим допускает отказ от симметрии движения и свободный ввод этих параметров на каждом этапе вне зависимости от их значений на других этапах.

Основной режим (включены все этапы) запускается по умолчанию при загрузке программы. Фабула движения Пауля полностью соответствует описанной в разделе 2. Параметры движения, отображаемые в таблице, рассчитываются именно теми методами, которые описаны в разделе 5, но с максимально достижимой точностью представления чисел. Однако эта точность всё же ограничена, что приводит к набегающей ошибке в координате Пауля при его возврате в точку старта относительно ИСО Петера, которая отображается не строгим нулём, а значением лишь близким к нулевому. При запуске программы в режиме умолчания эта ошибка равна значению

Поскольку имеет место полная симметрия движения Пауля, то ввод значений ускорений на этапах 3, 5, 7 и значений длительностей этих этапов не предусмотрен. На этих этапах значения ускорений (с учётом знаков) и значения длительностей этапов вводятся автоматически при вводе соответствующих значений этих параметров на этапе 1.

По умолчанию в этом режиме доступен ввод значений расстояния до цели S, ускорения W₁ на этапе 1 и длительности Δt_1 Paul этого этапа по часам ССО Пауля. Если расстояние до цели не зафиксировано, то доступен ввод значения длительности Δt_2 Paul этапа 2 инерционного движения Пауля по часам его ИСО. При этом расстояние, на которое Пауль переместится за первые три этапа относительно ИСО Петера, определится суммой смещений Пауля за эти этапы. Для получения возможности ввода изменённого значения скорости V_{end 1 Peter} Пауля относительно ИСО Петера по завершении этапа 1 необходимо отключить любой из флажков, разрешающих ввод ускорения W₁ или длительности Δt_1 Paul в заголовке таблицы и включить флажок, разрешающий ввод значения скорости V_{end 1 Peter}.

Ввод параметров будет доступен, а программа будет готова произвести вычисления при условии, что флажками отмечены любые два (и только два!) параметра из трёх: W₁, Δt_1 Paul, V_{end 1 Peter}. Расстояние до цели и параметры, отмеченные флажками, будут иметь статус аргументов. Параметр, оставшийся неотмеченным, и все параметры последующих этапов превращаются в функции этих аргументов. Если расстояние до цели не зафиксировано, то вместо него роль аргумента выполняет длительность Δt_2 Paul этапа 2 инерционного движения Пауля по часам его ИСО, которая становится доступной для ввода. Вычисление значений всех функций производится немедленно после ввода изменённого значения любого из аргументов, а так же повторяется с ранее введёнными значениями при получения статуса аргумента любым отмечаемым параметром. При таком повторном пересчёте с ранее введёнными значениями, параметр, превратившийся из аргумента в функцию, как правило в последних знаках изменится из‑за ограниченной точности представления чисел. Например, если непосредственно после загрузки программы снять какой‑либо из флажков, разрешающих ввод ускорения W₁ или длительности Δt_1 Paul, и включить флажок, разрешающий ввод скорости V_{end 1 Peter}, то после автоматического повторного пересчёта параметр ставший функцией изменится: ускорение из 1 (единицы) превратится в 0,999…, а длительность из 1,5 – в 1,499… (в обоих случаях 16 знаков после запятой).

Режим инерционного движения (отключены этапы ускорения) запускается нажатием кнопки «Отключить этапы ускор.» в левой колонке таблицы режимов. Рассчитывается классической вариант «парадокса близнецов», в котором длительности разгонов-торможений принимаются столь короткими, что ими можно пренебречь в суммарной длительности путешествия. Опираясь на рассуждения, проведённые в конце раздела 6, считаем, что скорость V_{end 2 Peter}, с которой Пауль условно движется относительно ИСО Петера на протяжении этапа 2, приобретена в результате очень большого (условно – бесконечно большого) ускорения на этапе 1 в течение очень малой (условно – бесконечно малой) длительности этого этапа. Симметрия движения Пауля сохраняется, поэтому относительно стартовой ИСО Петера абсолютные значения скоростей по завершении этапов 1 и 5 разгонов принимаются равными между собой, а значения скоростей по завершении этапов 3 и 7 торможений – нулевыми. При включении режима, все ускорения на этапах 1, 3, 5, 7 приобретают значения условно равные ±∞, а длительности этих этапов – условно нулевые значения. Эти значения ускорений и длительностей лишь обозначаются, но участия в вычислениях не принимают. Если перед включением режима флажок, разрешающий ввод ускорений W, был включён, он автоматически снимается.

Доступными для ввода могут быть три параметра: расстояние до цели S, длительность Δt_2 Paul этапа 2 по часам ИСО Пауля, скорость V_{end 2 Peter} = V_{end 1 Peter} Пауля относительно ИСО Петера, достигнутая как бы по завершении этапа 1 разгона. Ввод параметров будет доступен, а программа будет готова произвести вычисления при условии, что любые два (и только два!) параметра из трёх перечисленных будут выбраны в качестве аргументов. Если зафиксировано расстояние до цели, то именно оно и будет одним из аргументов. Другим аргументом будет любой отмеченный флажком параметр из двух оставшихся – длительность Δt_2 Paul или скорость V_{end 1 Peter}. Если при запуске режима флажками отмечены или, наоборот, не отмечены оба эти параметра, то аргументом будет выбрана скорость V_{end 2 Peter}. Функцией будет параметр, который флажком не отмечен. Если расстояние до цели не зафиксировано, то аргументами будут оба параметра – время Δt_2 Paul и скорость V_{end 1 Peter}. Они оба будут отмечены флажками автоматически, а функцией станет расстояние Δx_2 Peter, на которое Пауль сместится за этап 2 относительно ИСО Петера. Это смещение будет вычислено по правой части соотношения (3.1), положив Δx_2 Paul = 0, поскольку в своей ИСО Пауль не перемещается. Если в качестве аргументов будут выбраны расстояние до цели S и длительность периода инерционного движения Δt_{2 Paul} в ИСО Пауля, то скорость V_{end 2 Peter} (и равную ей скорость V_{end 1 Peter}) нельзя вычислять делением S на Δt_2 Paul, поскольку расстояние S задано в ИСО Петера, а Δt_2 Paul – в ИСО Пауля. В этом случае эти скорости V_{end 1 Peter} = V_{end 2 Peter} будут вычислены по соотношению (3.3).

Для возврата в основной режим следует нажать кнопку «Включить этапы ускор.» в левой колонке таблицы режимов. При этом в качестве аргумента обязательно будет задействован параметр Δt_1 Paul = 10^-20 г равный минимально допустимому для ввода значению длительности этапа 1 ускорения Пауля в своей ССО в основных единицах времени (или минимально допустимому для ввода значению в выбранных единицах времени). Используя соотношение (4.3), по этому значению длительности будет вычислено ускорение W₁ на этапе 1, необходимое для достижения скорости V_{end 1 Peter} Пауля относительно ИСО Петера, зафиксированной при выходе из режима инерционного движения.

Режим ускорения-торможения (отключены этапы инерционного движения) запускается нажатием кнопки «Отключить инерцион. этапы» в левой колонке таблицы режимов. Рассчитывается вариант «парадокса близнецов», в котором длительности этапов 2 и 6 инерционного движения и величины смещений Пауля за эти этапы устанавливаются равными нулю. Пауль, разогнавшись на этапах 1 и 5, переходит к торможению на этапах 3 и 7 непосредственно, минуя этапы инерционного движения. Симметрия движения Пауля сохраняется, поэтому, как и в основном режиме, на этапах 3, 5, 7 ввод значений ускорений, длительностей этапов и скоростей Пауля относительно ИСО Петера по завершении этапов не предусмотрен. Значения этих параметров на этих этапах вводятся автоматически при вводе соответствующих значений на этапе 1.

Доступными для ввода могут быть четыре параметра: расстояние до цели S, ускорение W₁ на этапе 1, длительность Δt_1 Paul этапа 1 по часам ССО Пауля, скорость V_{end 1 Peter} Пауля относительно ИСО Петера, достигнутая по завершении этапа 1. Если зафиксировано расстояние до цели, то именно оно и будет одним из аргументов. В этом случае смещение Пауля относительно ИСО Петера на этапе 1 априори принимается равным половине расстояния до цели Δx_1 Peter = S/2. Вторым аргументом может быть любой из оставшихся перечисленных параметров. Он должен быть отмечен флажком предварительно перед включением режима. Если расстояние до цели не зафиксировано, то перед включением режима флажками должны быть отмечены любые два параметра, которые получат статус аргументов. Параметры, оставшиеся не отмеченными, а во втором случае и смещение Δx_1 Peter Пауля относительно ИСО Петера, приобретут статус функций и будут вычислены по значениям аргументов по соотношениям (4.1) – (4.26) раздела 4. Если при попытке включить режим, флажками будет отмечено недостаточное или избыточное количество параметров, появится окно предупреждения с указанием на ошибку.

В отличие от основного режима, расчёты в соответствии с методикой, описанной в разделе 5, для этапов 3 и 7 в этом режиме не проводятся. Учитывая наличие симметрии, скорости Пауля относительно ИСО Петера по завершении этапов 3 и 7 считаем погашенными до нуля, а значения остальных параметров – равными (с учётом знаков) соответствующим значениям параметров этапа 1:

Правомерность такого подхода считаем достаточно обоснованной результатами поэтапного расчёта параметров движения Пауля в разделе 5 на этапах 3 и 7 торможений, которые с точностью до знаков повторяют значения соответствующих параметров этапов 1 и 5 разгона. Незначительные разночтения в последних разрядах обусловлены ограниченной точностью представления чисел.

Для возврата в основной режим следует нажать кнопку «Включить инерц. этапы» в левой колонке таблицы режимов. В качестве аргументов автоматически будут зафиксированы ускорение W₁ на этапе 1 и длительность Δt_1 Paul этого этапа в ССО Пауля. При фиксированном расстоянии до цели путешествия длительности этапа 2 по часам всех участников будут вычисляться через эти аргументы, которые были вычислены при строго нулевых априорно заданных значениях длительностей этапа 2. Но обратный расчёт длительностей этапа 2 через эти аргументы, как правило (но не всегда), приводит к появлению незначительных отклонений от нуля из‑за ограниченной точности представления чисел, что и отобразится в таблице близкими к нулю числовыми значениями, но не строгими нулями. Это замечание касается и длительности этапа 6, которая в силу наличия симметрии повторяет значение длительности этапа 2.

Режим отключённой симметрии (возможность независимого ввода параметров движения на каждом этапе) запускается нажатием кнопки «Отключить симметрию» в левой колонке таблицы режимов. По методам расчёта этот режим полностью повторяет основной режим – все параметры рассчитываются по методикам, описанным в разделе 5. Но, в отличие от основного режима, значения исходных параметров на каждом этапе могут быть пользователем изменены независимо от их значений на этапах 1 и 2. Не подлежат изменениям нулевые значения ускорений на этапах 2 и 6 – эти этапы в любом случае остаются этапами инерционного движения. При введённом расстоянии до цели не может быть произвольно изменена длительность этапа 2 инерционного движения, поскольку она определяется как частное от деления остатка расстояния до цели за вычетом смещений Пауля на этапах 1 и 3 на скорость Пауля на этапе 2. Сохранены ограничения на ввод параметров по причине их числовой некорректности и выхода за общие ограничения по максимальным и минимальным допустимым значениям. Не могут быть введены ускорения и скорости, имеющие некорректные знаки. Не допускается ввод отрицательных значений длительностей этапов. Но ограничения на ввод значений параметров, могущие привести к некорректным результатам вычислений, в частности с некорректными знаками, не предусмотрены в силу их программной громоздкости. Программа вычислит всю арифметику, которую пользователь заложит в неё в исходных параметрах, вне зависимости от корректности и физического смысла результатов. В частности, длительности этапов могут оказаться отрицательными. Или может сложиться ситуация при которой этапы торможения будут заданы столь длительными и интенсивными, что торможение перейдёт в разгон в обратном направлении относительно ИСО Петера. Причём эти некорректные результаты могут быть использованы в дальнейших вычислениях, что может привести к полной бессмыслице.

Но при разумном использовании, режим отключённой симметрии может быть интересен для расчёта нестандартных вариантов. Например, когда цель путешествия движется относительно стартовой ИСО Петера. Или когда Пауль при возврате пролетает мимо Земли не останавливаясь или, наоборот, останавливается не долетев до Земли. Но для получения разумных и имеющих физический смысл результатов режим требует продуманных действий и ввода осмысленных исходных параметров.

Для возврата в основной режим следует нажать кнопку «Включить симметрию» в левой колонке таблицы режимов. Программа вернётся в основной режим работы с исходными данными по умолчанию.

Таблица «Параметры движения Пауля в ИСО Петера по расчёту Генри»

Таблица полностью повторяет структуру таблицы раздела 6. При загрузке программы по умолчанию, значения содержащихся в ней параметров тоже соответствует значениям параметров раздела 6 с той разницей, что они отображаются с максимально достижимой точностью, которую пользователь может изменять по своему усмотрению. При внесении изменений в режим движения Пауля, параметры его движения относительно условно покоящейся ИСО Генри, рассчитываемые по методике описанной в разделе 6, тоже соответствующим образом изменяются. В частности, при переключении программы в режим инерционного движения, параметры движения Петера, рассчитанные относительно условно покоящейся ИСО Генри, будут соответствовать классическому варианту «парадокса близнецов», при котором этапы разгонов-торможений считаются столь пренебрежимо короткими, что и их длительности, и смещения Пауля за эти этапы могут быть отображены нулевыми значениями. Однако за счёт набегающей ошибки из‑за ограниченной точности представления чисел результирующие значения смещения Пауля относительно ИСО Петера за всё путешествие вне зависимости от режима работы программы, как правило, отображаются значениями лишь близкими к нулевым, но не строго нулевыми.

Таблица «Режимы расчёта, единицы измерения, формат отображения числовых значений

Таблица предоставляет пользователю возможность выбора режимов работы программы, единиц измерения параметров движения участников и формата отображения числовых значений. Левая колонка таблицы содержит три кнопки, позволяющие выбирать режим работы программы. Предназначение этих кнопок было рассмотрено выше при описании режимов работы программы. Далее, в порядке слева направо, расположены колонки «Единицы времени», «Единицы расстояния», «Единицы скорости», «Единицы ускорения», каждая из которых содержит подколонки, указывающие единицы измерения, в которых по выбору пользователя могут отображаться соответствующие параметры движения участников. По умолчанию задействованы основные единицы измерения, описанные в разделе 1. По желанию пользователя могут быть выбраны другие единицы измерения. Все доступные единицы измерения перечислены ниже.

Для отображения времени:
- годы – «год»,
- часы – «час»,
- секунды – «сек».

Для отображения расстояния:
- световые годы – «св.г»,
- парсеки – «пк»,
- километры – «км».

Для отображения скорости:
- световые годы в год – «св.г/г»,
- парсеки в год – «пк/г»,
- километры в секунду – «км/сек».

Для отображения ускорения:
- световые годы в год за год – «св.г/г²»,
- парсеки в год за год – «пк/г²»,
- метры в секунду за секунду – «м/сек²»,
- единицы ускорения свободного падения на Земле – «ед "g"».

Для перехода к отображению интересующих параметров в желаемых единицах измерения следует включить переключатель, расположенный под обозначением выбранной единицы. Сразу же после включения в заголовках таблиц обозначение выбранной единицы заменит обозначение единицы, применённой ранее, и все значения соответствующих параметров будут пересчитаны в выбранные единицы.

Последняя, самая правая, колонка таблицы предназначена для выбора формата отображаемых числовых значений. Две левые подколонки предназначены для выбора разделителя между целой и дробной частями чисел – запятая или точка. По умолчанию включается запятая. Все числа будут отображаться в соответствии с выбранным разделителем, но вводить их в поля ввода можно с использованием любого разделителя вне зависимости от сделанного выбора. Правая подколонка предназначена для выбора режима округления чисел. Из выпадающего списка можно выбрать значение от 3 до 15, которое установит количество разрядов, до которых числа будут округляться. По умолчанию включается режим без округления, в котором числа, не могущие быть отображены точными значениями, представлены не менее, чем 16‑ю знаками, из которых 16‑й и последующие являются ненадёжными. Максимальную точность как исходных, так и результирующих значений с небольшим запасом считаем ограниченной 14‑ю разрядами.

Вне зависимости от выбранных единиц измерения и включения режима округления, все расчёты производятся в основных единицах при максимально достижимой точности числовых значений. Пересчёт значений в выбранные единицы измерения и их округление производится только при выводе значений на экран.

8. Описания программ пересчёта параметров движения объектов
между различными системами отсчёта и программы
преобразования единиц измерения ↑

Предлагаются три программы пересчёта временны́х и пространственных параметров движения произвольных объектов из ССО, в которых объекты покоятся, в параметры движения этих же объектов в ИСО, относительно которых объекты движутся, и обратно. Все ССО, ИСО и основные единицы измерения параметров, применяемые в программах, соответствуют описаниям, приведённым в разделе 1. Все соотношения, используемые в программах для вычислений, условия их применения и ограничения соответствуют описаниям в разделах 3 и 4. Ещё одна программа позволяет быстро пересчитывать значения времени, расстояния, скорости, ускорения из одних допустимых единиц измерения в другие допустимые единицы измерения.

Программы работают на машине пользователя, не используя ресурсы сервера. Каждая программа загружается с сервера после нажатия на ссылку со своим названием (см. ниже) и, в зависимости от браузера и его настроек, открывается в отдельном окне или в отдельной вкладке. Интерфейсы программ построены по однотипным схемам и представляют собой таблицы, в ячейки которых можно вводить значения параметров, имеющих статус аргументов. По значениям аргументов вычисляются значения других параметров, имеющих статус функций. Над таблицами приведены название программ и краткие текстовые пояснения. Интерефейс программы пересчёта единиц измерения несколько отличается от интерефейса программ пересчёта параметров движения, но он настолько прост, что не вызовет затруднений.

Таблицы программ пересчёта параметров движения состоят из четырёх столбцов, количество строк в которых соответствует количеству параметров, задействованных в расчёте, плюс верхняя строка, содержащая заголовки столбцов. Ячейки верхней строки имеют следующее наполнение (слева направо). В первой ячейке находится кнопка, при нажатии которой вся введённая и вся рассчитанная информация стираются и программа возвращается в режим по умолчанию. Вторая ячейка содержит пояснение, что данная колонка предназначена для указания диапазонов допустимых значений вводимых аргументов или для размещения расчётных формул, по которым рассчитываются значения функций. Третья ячейка охватывает две колонки и содержит краткое описание возможных действий пользователя.

Каждая из последующих строк таблиц отведена для описания характеристик конкретного параметра и фиксации его значений.

Если параметр имеет статус аргумента, то этот факт отображается символом «arg.» в первой ячейке строки, отведённой параметру. Во второй ячейке указывается диапазон допустимых значений при его вводе. У правой границы второй ячейки располагается символ, обозначающий этот параметр, со знаком равенства, направленным в сторону третьей ячейки. Третья ячейка содержит поле для ввода значения параметра с указанием единицы измерения. Последняя ячейка содержит выключатель со включённым флажком, факт включения которого придаёт конкретному параметру статус аргумента. Если количество включённых аргументов недостаточно для производства вычислений, то поле ввода включённого аргумента лишь обозначается, но ввод значений в него заблокирован.

Если параметр имеет статус функции, то в левой ячейке указывается номер соотношения, по которому программа будет производить или уже произвела его вычисление. Вторая ячейка содержит символ параметра, приравненный к соотношению, по которому значение будет или было вычислено. Справа от соотношения имеется знак равенства, направленный в сторону третьей ячейки, которая содержит рассчитанное или введённое ранее значение этого параметра или указание на отсутствие значения. Флажок в последней ячейке выключен, что указывает на то, что данный параметр не является аргументом.

Если параметр не имеет никакого статуса, то первая ячейка содержит прочерк, а последняя выключенный флажок. Это происходит в тех случаях, когда количество включённых аргументов недостаточно для производства вычислений. В этом случае, вторая ячейка содержит только символ параметра со знаком равенства, направленным в сторону третьей ячейки, которая содержит ранее рассчитанное или ранее введённое значение этого параметра или указание на отсутствие значения.

Изменения, вносимые в поля ввода, следует завершать нажатием клавиши «Enter». Вводить значения аргументов можно в любом порядке. Расчёт будет произведён сразу же после ввода значения последнего аргумента. Значение любого аргумента можно изменить. Если во все другие поля ввода значения уже введены, то сразу же после изменения расчёт будет произведён с новым значением. Статус аргумента для любого параметра может быть отменён отключением флажка. Для продолжения расчётов надо придать статус аргумента любому другому параметру, включив соответствующий флажок. Такая замена аргументов приведёт к пересчёту значений всех параметров, имевших и получившего статус функций. При таком обратном пересчёте значения некоторых функций в последних знаках могут измениться из‑за ограниченной точности представления чисел в языке программирования. Если вводимый параметр некорректен или выходит за допустимые пределы, то его ввод будет заблокирован и появится окно предупреждения с описанием причины блокировки и указанием пределов допустимых значений этого параметра. К сожалению, значения указанных границ следует считать лишь ориентировочными. В некоторых случаях отклонения реально необходимых ограничений от рассчитанных значений могут быть достаточно существенными, причём как в сторону ужесточения, так и в сторону ослабления. Это происходит в силу недостаточной точности представления чисел в языке программирования для достижения точной работы алгоритмов расчётов. Значения ограничений, приведённые в описаниях конкретных программ, относятся к аргументам при их вводе в основных единицах измерения. При вводе в других единицах, ограничения перед применением пересчитываются в единицы ввода. Ограничения действуют только в отношении вводимых значений, но не действуют в отношении рассчитанных результатов, которые могут выходить за пределы, установленные для ввода. При этом имеется возможность продолжать использовать полученные результаты в последующих расчётах, придав им статус аргументов переключением соответствующих флажков. Однако, надёжность таких расчётов может оказаться под сомнением.

Под основной таблицей каждой программы располагается небольшая таблица «Единицы измерения и формат отображения числовых значений», которая предоставляет пользователю возможность выбора единиц измерения для задействованных в программе параметров и формата отображения числовых значений. Для перехода к отображению параметров в желаемых единицах следует включить переключатель, расположенный под обозначением этой единицы. Сразу же после переключения, обозначение выбранной единицы заменит обозначение единицы, применённой ранее, и все значения соответствующих параметров будут пересчитаны в выбранные единицы. По умолчанию задействованы основные единицы измерения, описанные в разделе 1.

Последняя колонка предназначена для выбора формата отображаемых числовых значений. Две левые подколонки служат для выбора разделителя между целой и дробной частями чисел – запятая или точка. По умолчанию задействована запятая. Все числа будут отображаться в соответствии с выбранным разделителем, но вводить их в поля ввода можно с использованием любого разделителя вне зависимости от сделанного выбора. Правая подколонка предназначена для выбора режима округления чисел. Из выпадающего списка можно выбрать значение от 3 до 15, которое установит количество разрядов, до которых числа будут округляться. По умолчанию включается режим без округления, в котором числа, не могущие быть отображены точными значениями, представлены 16‑ю или более цифровыми разрядами, из которых 16‑й и последующие при их наличии не являются надёжными. Максимальную точность как исходных, так и результирующих значений с небольшим запасом считаем ограниченной 14‑ю разрядами.

Вне зависимости от выбранных единиц измерения и включения режима округления, все расчёты производятся в основных единицах при максимально достижимой точности числовых значений. Пересчёт значений в выбранные единицы измерения и их округление производится только при выводе значений на экран.

Программа «Преобразования Лоренца»

Программа позволяет осуществлять прямой и обратный пересчёт промежутков времени и расстояний между двумя событиями, отображёнными в двух ИСО, одна из которых, ИСО «K'», движется относительно условно покоящейся ИСО «K» с постоянной скоростью V вдоль её оси x.

В программе задействованы следующие параметры:

V – скорость условно движущейся ИСО «K'» относительно условно покоящейся ИСО «K».

В условно движущейся ИСО «K'»:
- промежуток времени между событиями «1» и «2»: Δt' = t'₂ – t'₁,
- расстояние между событиями «1» и «2»: Δx' = x'₂ – x'₁.

В условно покоящейся ИСО «K»:
- промежуток времени между событиями «1» и «2»: Δt = t₂ – t₁,
- расстояние между событиями «1» и «2»: Δx = x₂ – x₁.

Для производства расчёта необходимо задать значения трёх аргументов: обязательного аргумента – скорости V и двух выбранных пользователем по своему усмотрению. Для скорости V в данной программе статус аргумента отменён быть не может. В дополнение к скорости статус аргументов может быть придан двум любым произвольным параметрам в любых сочетаниях без обязательной их привязки к одной и той же ИСО. Если параметры, которым придан статус аргументов, относятся к разным ИСО, то вычисления функций производятся по несколько преобразованным соотношениям (3.1) и (3.2), которые отобразятся во второй колонке таблицы при включении аргументов в соответствующих сочетаниях. При этом в случаях придания статуса аргументов однотипным параметрам разных ИСО скорость V не может иметь нулевое значение, поскольку будет находиться в знаменателях соотношений, используемых для расчёта. Программа настроена на блокировку такой ситуации. При включении такого сочетания аргументов абсолютная величина минимального значения скорости V, которое может быть введено, определится абсолютной величиной минимального числа, которое язык программирования отличает от строгого нуля, что с некоторым запасом надёжности в основных единицах скорости составляет 10^-323 св.г/г.

Вводимые параметры, в т. ч. промежутки времени, могут быть как положительными, так и отрицательными (отрицательный промежуток времени означет, что событие 2 происходит раньше, чем событие 1). Сверху по абсолютным величинам вводимые параметры ограничены следующими значениями: скорость значением 0,999… (14 девяток) св.г/г, расстояния Δx', Δx и промежутки времени Δt', Δt значением 10⁺¹⁵ «св.г» и «г» соответственно.

Если для отображения параметров событий выбрать такие ИСО, у которых начала отсчётов координат и текущего времени привязаны к точке и моменту времени события «1», т. е. x₁ = x'₁ = 0 в момент t₁ = t'₁ = 0, то в таких ИСО по отношению к событию «2» преобразования Лоренца приобретут классический характер в смысле, определённом в разделе 3. В этих ИСО расстояния Δx', Δx и промежутки времени Δt', Δt между событиями будут отображать пространственные координаты и моменты текущего времени события «2»: x'₂ = Δx', x₂ = Δx, t'₂ = Δt', t₂ = Δt.

Программа «Сложение (вычитание) скоростей»

Программа позволяет рассчитать любую из скоростей U', U, V, две первые из которых представляют собой скорости движения произвольного объекта относительно двух ИСО, одна из которых, ИСО «K'», движется относительно условно покоящейся ИСО «K» с постоянной скоростью V.

Для производства расчёта необходимо выбрать в качестве аргументов две любых скорости из перечисленных и задать их значения. Вводимые скорости могут быть как положительными, так и отрицательными. По абсолютным величинам все скорости сверху ограничиваются значением 0,999… св.г/г (14 девяток). Особенностью данной программы является то, что это ограничение строгое, т. е. попытку ввода значения из 14‑ти девяток после запятой программа заблокирует. Программа заблокирует и попытку ввода значения второго аргумента, если в результате вычислений значение скорости, имеющей статус функции, превысит или будет равно указанному ограничению. При этом появится окно предупреждения с указанием предельно допустимых границ для второго аргумента.

Программа «Ускоренное движение объектов»

Программа позволяет по двум известным параметрам движения объекта, испытывающего постоянное ускорение в связанной с ним ССО «K'», вычислять остальные параметры его движения в двух координатных системах – в ССО «K'» и в условно покоящейся стартовой ИСО «K», из которой объект стартовал с нулевой скоростью.

Параметры движения ускоряющегося объекта в связанной с этим объектом ССО «K'»:
W – ускорение объекта, которое поддерживается постоянным на протяжении всего рассматриваемого периода ускорения,
Δt' – длительность периода ускорения.

Параметры движения ускоряющегося объекта в условно покоящейся ИСО «K», из которой объект стартует при V_start = 0:
Δt – длительность периода ускорения,
Δx – смещение объекта за период Δt,
V_end – скорость объекта по завершении периода ускорения.

Для производства расчёта необходимо выбрать в качестве аргументов два любых параметра из перечисленных и задать их значения.

Длительности периодов ускорения Δt' и Δt могут быть только положительными. Промежуток времени между событиями, произошедшими с одним и тем же объектом, измеренный по часам ССО этого объекта, всегда короче промежутка времени, измеренного по часам любой другой ССО. Поэтому значения длительностей должны удовлетворять условию Δt'<Δt. Неравенство строгое, поскольку перейти в равенство оно может только при нулевом ускорении, что приводит к неопределённостям вида 0/0.

Ускорение W, смещение Δx и скорость V_end могут быть и положительными, и отрицательными, но, как было отмечено в разделе 4, знаки этих параметров обязательно должны быть одинаковыми – или плюсами, или минусами. Значения параметров движения объекта по абсолютным величинам не зависят от направления его движения. Поэтому все расчёты проводятся с использованием именно абсолютных величин значений введённых параметров. При этом знак всех значений, выводимых на экран, пользователь может присвоить по своему усмотрению. Для выбора знака следует установить в соответствующее положение переключатель в нижней строке правой колонки основной таблицы. Кроме того, знаки всех трёх параметров изменятся при вводе любого из них со знаком, противоположным выбранному ранее.

Сверху по абсолютным величинам вводимые параметры ограничены следующими значениями: ускорение W значением 10⁺²⁰ св.г/г², смещение Δx и длительности периода ускорения Δt' и Δt значением 10⁺¹⁵ св.г. и г. соответственно, скорость значением 0,999… (14 девяток) св.г/г. Все перечисленные параметры не могут быть равны нулю. Поэтому, во избежание некорректной работы применённых алгоритмов расчёта, снизу вводимые параметры по абсолютной величине ограничены значением 10^-20 в соответствующих основных единицах измерения.

Программа «Преобразование единиц измерения»

Программа позволяет осуществить быстрый пересчёт значений четырёх физических величин – времени, расстояния, скорости, ускорения, – выраженных в одних единицах измерения, используемых в статье, в другие, используемые в статье, единицы измерения.

Пересчёт может быть осуществлён между следующими единицами:
- для времени: год «год», час «час», секунда «сек»;
- для расстояния: световой год «св.г», парсек «пк», километр «км»;
- для скорости: световой год в год «св.г/г», парсек в год «пк/г», километр в секунду «км/сек»;
- для ускорения: световой год в год за год «св.г/г²», парсек в год за год «пк/г²», метр в секунду за секунду «м/сек²», единица ускорения свободного падения на Земле «ед."g"».

Для преобразования единиц измерения в этой и во всех других программах использованы следующие исходные данные:
Скорость света – универсалльная константа, c = 299 792 458 м/сек = 299 792,458 км/сек, [2, Таблицы 5, 10]
1 сек – определяется цезиеаым эталоном, [2, Таблица 9];
1 час = 3 600 сек;
1 год = 31 557 600 сек;
1 метр (м) – расстояние, которое свет проходит за 1/299792458 часть секунды, [2, Таблица 9];
1 километр (км) = 1 000 м;
1 св.г = c ∙ 1 год = 299 792,458 км/сек ∙ 31 557 600 сек = 9 460 730 472 580,8 км;
1 астрономическая единица (а.е.) = 149 597 870 км, [2, Таблица 3];
1 пк = 1 а.е. / sin (1°/3600) = 149597870 км / 0,000004848136811 = 30856775670286,6 км, [2, §1.10.6];
1 пк = 30856775670286,6 км / 9460730472580,8 км = 3,26156376188034 св.г;
1 ед.«g» = 980,665 см/сек² = 9,80665 м/сек², [2, Таблица 11].

Интерфейс программы представляет собой таблицу из четырёх строк и пяти столбцов. Каждая строка предназначена для отображения значений одной и той же физической величины, обозначение которой приведено в первой ячейке. Следующие ячейки строки предназначены для ввода или отображения числовых значений этой величины, выраженных в одной из перечисленных единиц измерения. Первое числовое значение отображает указанную величину в основной единице, описанной в разделе 1. Дальнейшие ячейки содержат значения, соответствующие этой же величине, выраженной в других единицах измерения. При запуске программы по умолчанию во все первые ячейки вводятся единичные значения в основных единицвх.

Для производства пересчёта следует ввести числовое значение переводимой величины, выраженной в любой из доступных пересчёту единиц, в ячейку, соответствующую этой единице. Сразу же после ввода все значения в строке будут пересчитаны в соответствии с введённым значением.

Для скорости вводимые значеня сверху по абсолютной величине ограничены скоростью света:

Остальные парметры по абсолютным величинам ограничены максимальным числовым значением, которым может быть представлено число в языке прграммирования. С небольшим запасом его значение равно 10⁺³⁰⁷. Для того, чтобы это значение ни в каких пересчётах не могло быть превышено, при вводе действуют следующие ограничения:

Последние ячейки в строках времени, расстояния и скорости не задействованы для вычислений. Они объединены между собой и в них расположены вспомогательные атрибуты, которые описаны в общей части: кнопка приведения программы в состояние по умолчанию, переключатель выбора разделителя между целой и дробной частями чисел и переключатель количества разрядов, до которых числа будут округляться.

Литература ↑

1. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, т. 2, гл. 16, § 2 // М., «Мир», 1967.
2. Куликовский П. Г. Справочник любителя астрономии. Под ред. В. Г. Сурдина. Изд. 5‑е, перераб. и полн. обновл. – М.: Эдиториал УРСС, 2002.
3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля, §7, Решение задачи // М.: Наука. 1967.